已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），且点（-1，22）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），且点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），且点（-1，

2

）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得

QA

?

QB

=-

7

16

恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

试题来源：海淀区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意，c=1
∵点（-1，

2

）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=

(-1-1)2+(

2

)2

+

2

，∴a=

2

∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1；
（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得

QA

?

QB

=-

7

16

恒成立
当直线l的斜率为0时，A（

2

，0），B（-

2

，0），则(

2

-m，0)?(-

2

-m，0)=-

7

16

，∴m2=

25

16

，∴m=±

5

4

①
当直线l的斜率不存在时，A(1，

2

)，B(1，-

2

)，则(1-m，

2

)?(1-m，-

2

)=-

7

16

，∴(1-m)2=

1

16

∴m=

5

4

或m=

3

4

②
由①②可得m=

5

4

．
下面证明m=

5

4

时，

QA

?

QB

=-

7

16

恒成立
当直线l的斜率为0时，结论成立；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线方程代入椭圆方程，整理可得（t²+2）y²+2ty-1=0，∴y₁+y₂=-

2t

t2+2

，y₁y₂=-

1

t2+2

∴

QA

?

QB

=（x₁-

5

4

，y₁）?（x₂-

5

4

，y₂）=（ty₁-

1

4

）（ty₁-

1

4

）+y₁y₂=（t²+1）y₁y₂-

1

4

t（y₁+y₂）+

1

16

=

-2t2-2+t2

2(t2+2)

+

1

16

=-

7

16

综上，x轴上存在点Q（

5

4

，0），使得

QA

?

QB

=-

7

16

恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），且点..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：