已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点M(1，32)，其离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m(|k|≤12)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点M(1，32)，其离心..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M(1，

3

2

)，其离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m (|k|≤

1

2

)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求|OP|的取值范围．

试题来源：海淀区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知可得e2=

a2-b2

a2

=

1

4

，所以3a²=4b²①（1分）
又点M(1，

3

2

)在椭圆C上，
所以

1

a2

+

9

4b2

=1②（2分）
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±

3

2

，
所以|OP|=

3

．（6分）
当k≠0时，则由

y=kx+m

x2

4

+

y2

3

=1.

消y化简整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0③（8分）
设A，B，P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
则x0=x1+x2=-

8km

3+4k2

，y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=

6m

3+4k2

．（9分）
由于点P在椭圆C上，所以

x

20

4

+

y

20

3

=1．（10分）
从而

16k2m2

(3+4k2)2

+

12m2

(3+4k2)2

=1，化简得4m²=3+4k²，经检验满足③式．（11分）
又|OP|=

x

20

+

y

20

=

64k2m2

(3+4k2)2

+

36m2

(3+4k2)2

=

4m2(16k2+9)

(3+4k2)2

=

16k2+9

4k2+3

=

4-

3

4k2+3

．（12分）
因为0＜|k|≤

1

2

，得3＜4k²+3≤4，有

3

4

≤

3

4k2+3

＜1，
故

3

＜|OP|≤

13

2

．（13分）
综上，所求|OP|的取值范围是[

3

，

13

2

]．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点M(1，32)，其离心..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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