一直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛物线准线的一点．（1）求证：∠ACB不可能是钝角；（2）是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，请求出点C的-数学试题及答案

1、试题题目：一直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-22 07:30:00

试题原文

一直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛物线准线的一点．
（1）求证：∠ACB不可能是钝角；
（2）是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(-

p

2

，m)，
直线AB方程为x=ty+

p

2

由

x=ty+

p

2

y2=2px

，得：y²-2pty-p²=0，
则y1+y2=2pt，y1y2=-p2
∴x1+x2=2pt2+p，x1x2=

p2

4

．

CA

=(x1+

p

2

，y1-m)，

CB

=(x2+

p

2

，y2-m)
∴

CA

?

CB

=(pt-m)2≥0
∴＜

CA

，

CB

＞不可能为钝角，
故∠ACB不可能是钝角
（2）假设存在点C，使得△ABC为正三角形
由（1）得：线段AB的中点为M(pt2+

p

2

，pt)
①若直线AB的斜率不存在，这时t=0，A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p)，
点C的坐标只可能是(

p

2

，-p)，由|CM|=

3

2

|AB|，
得：p=

3

2

?2p，矛盾，于是直线AB的斜率必存在．
②由CM⊥AB，得：k_CM?k_AB=-1，
即

pt-m

pt2+

p

2

+

p

2

?

1

t

=-1，
∴m=pt³+2pt，
∴C(-

p

2

，pt3+2pt)|CM|=p(t2+1)

t2+1

，|AB|=2p（t²+1），
由|CM|=

3

2

|AB|，得：t=±

2

，
∴C(-

p

2

，±4

2

p)
故存在点C(-

p

2

，±4

2

p)，使得△ABC为正三角形．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“一直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的方程”。

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