已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a∈R}．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a＞0，以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Sn，对于任意的n∈N+，均有Sn∈A，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a∈R}．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a＞..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＞0，以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，对于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的前n项和

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}={x|（x-1）（x-a）≤0，a∈R}．
（1）a≥1时，A={x|1≤x≤a}；
（2）a＜1时，A={x|a≤x≤1}
（Ⅱ）（i）当a≥1时，A={x|1≤x≤a}．
而S₂=a+a²＞a，S₂?A，故a≥1时，不存在满足条件的a；

（ii）当0＜a＜1时，A={a≤x≤1}，Sn=

a(1-an)

1-a

，Sn-a=

a(1-an)

1-a

-a=

a2-an+1

1-a

≥0，∴S_n≥a，
又aⁿ＞0，∴Sn＜

a

1-a

对任意的n∈N₊，S_n∈A，只须a满足

0＜a＜1

a

1-a

≤1

，解得0＜a≤

1

2

．
综上所述，a的取值范围是0＜a≤

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a∈R}．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a＞..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的前n项和”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的前n项和”。

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