数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn（n=1，2，3，…）．证明：（Ⅰ）数列{Snn}是等比数列；（Ⅱ）Sn+1=4an．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn（n=1，2，3，…）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁=1，a_n+1=

n+2

n

S_n（n=1，2，3，…）．证明：
（Ⅰ）数列{

Sn

n

}是等比数列；
（Ⅱ）S_n+1=4a_n．

试题来源：黑龙江试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证：由a₁=1，a_n+1=

n+2

n

S_n（n=1，2，3，），
知a₂=

2+1

1

S₁=3a₁，

S2

2

=

4a1

2

=2，

S1

1

=1，∴

S2

2

S1

1

=2
又a_n+1=S_n+1-S_n（n=1，2，3，…），则S_n+1-S_n=

n+2

n

S_n（n=1，2，3，），
∴nS_n+1=2（n+1）S_n，

Sn+1

n+1

Sn

n

=2（n=1，2，3，…），
故数列{

Sn

n

}是首项为1，公比为2的等比数列．
（II）证明：S_n+1=4a_n．当n=1时，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．
由（1）知：

Sn

n

=1×2n-1，∴S_n=n2^n-1
当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=2ⁿ（2n-n+1）=（n+1）2ⁿ=S_n+1，等式成立．
因此对于任意正整数n≥1都有S_n+1=4a_n．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn（n=1，2，3，…）..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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