已知函数f(x)=log21+x1-x．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）证明函数f（x）为奇函数；（Ⅲ）判断并证明函数的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=log21+x1-x．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）证明函数f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=log2

1+x

1-x

．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）证明函数f（x）为奇函数；
（Ⅲ）判断并证明函数的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由

1+x

1-x

＞0，可得

1+x＞0

1-x＞0

或

1+x＜0

1-x＜0.

可得-1＜x＜1．
即函数f（x）的定义域为（-1，1）． …（4分）
（Ⅱ）由f(-x)=log2

1-x

1+x

=-log2

1+x

1-x

=-f(x)，
所以函数f（x）为奇函数． …（8分）
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

=log2

1+x1-x2+x1x2

1-x1+x2+x1x2

，
由x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
可知0＜1+x₁-x₂+x₁x₂＜1-x₁+x₂+x₁x₂，
所以

1+x1-x2+x1x2

1-x1+x2+x1x2

＜1，
可得log2

1+x1-x2+x1x2

1-x1+x2+x1x2

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在（-1，1）为增函数． …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=log21+x1-x．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）证明函数f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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