已知函数f(logax)=aa2-1(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．（1）求f（x）的解析式；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(logax)=aa2-1(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知函数f(logax)=

a

a2-1

(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令log_ax=t，∴x=a^t，代入得f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t）
即f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），（a＞0且a≠1）．
（2）当a＞1，

a

a2-1

＞0，f（x）在R上是增函数，x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

（ax1-a-x1）-

a

a2-1

( ax2- a-x2)

a

a2-1

[(ax1-ax2)+(

1

ax2

-

1

ax1

)]

=

a

a2-1

(ax1-ax2)(1+

1

ax1ax2

)＜0

∴f(x1)＜f(x2)

∴f（x）在R上是增函数，当0＜a＜1时，同理可证：f（x）在R上是增函数
（3）由（2）知f（x）在R上是增函数，
∴当x∈（-∞，2）时，f（x）＜f（2）=

a

a2-1

（a²-a^-2），
∴f（2）-4=

a

a2-1

（a²-a^-2）-4≤0，
整理得

a2-4a+1

a

≤0且a＞0且a≠1．
∴a²-4a+1≤0，解得2-

3

≤a≤2+

3

，且a≠1，
即[2-

3

，1）∪（1，2+

3

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(logax)=aa2-1(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：