设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x3．（Ⅰ）若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x³．
（Ⅰ）若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

因为当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x³．
所以当x∈（0，1]时，f（x）=f（-x）=2ax-4x³，
∴f(x)=

-2ax+4x3，-1≤x≤0

2ax-4x3，0＜x≤1.

（Ⅰ）由题设f（x）在（0，1]上为增函数，∴f'（x）≥0在x∈（0，1]恒成立，
即2a-12x²≥0对x∈（0，1]恒成立，于是，a≥6x²，从而a≥（6x²）_max=6．
即a的取值范围是[6，+∞）
（Ⅱ）因f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x³在x∈（0，1]的最大值．
令f'（x）=2a-12x²=0，得x=

a

6

．…（8分）
若

a

6

∈（0，1]，即0＜a≤6，则[f(x)]max=f(

a

6

)=2a×

a

6

-4(

a

6

)3＜2a×

a

6

≤12，
故此时不存在符合题意的a；
若

a

6

＞1，即a＞6，则f（x）在（0，1]上为增函数，于是[f（x）]_max=f（1）=2a-4．
令2a-4=12，故a=8．综上，存在a=8满足题设．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：