函数f(x)=x3-mx2+(m2-4)x，x∈R。（1）当m=3时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；（2）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β。若对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥-数学试题及答案

1、试题题目：函数f(x)=x3-mx2+(m2-4)x，x∈R。（1）当m=3时，求曲线y=f(x)在点（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

函数f(x)=

x³-mx²+(m²-4)x，x∈R。
（1）当m=3时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；
（2）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α ，β，且α＜β。若对任意的x∈[α ，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求实数m的取值范围。

试题来源：0103 期中题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）当m=3时，f(x)=

x³-3x²+5x，f ′(x)=x²-6x+5，
因为f(2)=

，f ′(2)=-3，
所以切点坐标为（2，

），切线的斜率为-3．
则所求的切线方程为y-

=-3(x-2)，即9x+3y-20=0。
（2）f ′(x)=x²-2mx+(m²-4)，
令f ′(x)=0，得x=m-2或x=m+2，
当x∈（-∞，m-2）时，f ′(x)＞0，f(x)在（-∞，m-2）上是增函数；
当x∈（m-2，m+2）时，f ′(x)＜0，f(x)在（m-2，m+2）上是减函数；
当x∈（m+2，+∞）时，f ′(x)＞0，f(x)在（m+2，+∞）上是增函数；
因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，α ，β，且f(x)=

x[x²-3mx+3(m²-4)]，
所以

，
解得：m∈(-4，-2)∪(-2，2)∪(2，4)，
当m∈(-4，-2)时，m-2＜m+2＜0，所以α＜m-2＜β＜m+2＜0，
此时f(α)=0，f(1)＞f(0)=0，与题意不合，故舍去；
当m∈(-2，2)时，m-2＜0＜m+2，所以α＜m-2＜0＜m+2＜β，
因为对任意的x∈[α ，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β，
所以f(1)为函数f(x)在[α ，β]上的最小值；
因为当x=m+2时，函数f(x)在[α ，β]上取最小值，所以m+2=1，即m=-1；
当m∈(2，4)时，0＜m-2＜m+2，所以0<α＜m-2＜m+2＜β，
因为对任意的x∈[α ，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β，
所以f(1)为函数f(x)在[α ，β]上的最小值，
因为当x=m+2时，函数f(x)在[α ，β]上取最小值，所以m+2=1，即m=-1（舍去），
综上可知，m的取值范围是{-1}。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f(x)=x3-mx2+(m2-4)x，x∈R。（1）当m=3时，求曲线y=f(x)在点（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：