函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（Ⅰ）当x＞0时，求证：f(x)-1≥a(1-1x)；（Ⅱ）在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．（Ⅲ）当a=12时，求证：f(2)+f(3)+…+f(n+1)＞2(n+1-n+1）（n∈N*）．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（Ⅰ）当x＞0时，求证：f(x)-1≥..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

函数f（x）=alnx+1（a＞0）．
（Ⅰ）当x＞0时，求证：f(x)-1≥a(1-

1

x

)；
（Ⅱ）在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．
（Ⅲ）当a=

1

2

时，求证：f(2)+f(3)+…+f(n+1)＞2(n+1-

n+1

）（n∈N^*）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（ I）证明：设φ(x)=f(x)-1-a(1-

1

x

)=alnx-a(1-

1

x

)，(x＞0)
令φ′(x)=

a

x

-

a

x2

=0，则x=1，即φ（x）在x=1处取到最小值，
则φ（x）≥φ（1）=0，即原结论成立．
（ II）由f（x）＞x得alnx+1＞x
即a＞

x-1

lnx

，
令g(x)=

x-1

lnx

，(x＞1)，g′(x)=

lnx-

x-1

x

(lnx)2

令h(x)=lnx-

x-1

x

，h′(x)=

1

x

-

1

x2

＞0，
则h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）=0
∵h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）单调递增，则g（x）的最大值为g（e）=e-1
所以a的取值范围为[e-1，+∞）．
（ III）证明：由第一问得知lnx≥1-

1

x

，则ln

n

≥1-

1

n

则f(2)+f(3)+…+f(n+1)=

1

2

(ln2+ln3+…+ln(n+1))+n
=ln

2

+ln

3

+…+ln

n+1

+n≥1-

1

2

+1-

1

3

+…+1-

1

n+1

+n
=2n-2(

1

2

+

1

2

3

+…+

1

2

n+1

)＞2n-2(

1

1+

2

+

1

2

+

3

+…+

1

n

+

n+1

)=2(n+1-

n+1

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（Ⅰ）当x＞0时，求证：f(x)-1≥..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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