已知函数f（x）=a-x+x（a∈N*），对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）-f（x2）|＜1，则正整数a的取值个数是_____

1、试题题目：已知函数f（x）=a-x+x（a∈N*），对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）-f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

a-x

+

x

（a∈N^*），对定义域内任意x₁，x₂，满足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则正整数a的取值个数是______．

试题来源：广东模拟试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵a-x≥0，x≥0，∴0≤x≤a，∴定义域为[0，a]
对定义域内任意x₁，x₂，满足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，即表明f（x）的最大值与最小值的差小于1．（也就是值域区间的长度小于1），求其最大最小值即可
∵f（x）=

a-x

+

x

≥0
∴[f（x）]²=a+2

x(a-x)

≥a，当x=0或a时，f（x）取最小值

a

又x（a-x）≤[

x+(a-x)

2

]²=

a2

4

，当x=a-x即x=

a

2

时取等号
即[f（x）]²≤a+a=2a，f（x）≤

2a

，当x=

a

2

时取最大值

2a

∴（

2

-1）

a

＜1
∴

a

＜

1

2

-1

=1+

2

∴a＜3+2

2

∵a∈N^*，
∴a=1、2、3、4、5
∴正整数a的取值个数是5个．
故答案为：5

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=a-x+x（a∈N*），对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）-f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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