已知奇函数f(x)=logabx+1x-1，（a＞0，且a≠1）（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）对于x∈[2，4]f(x)＞logam(x-1)2(7-x)恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ）当n≥4，且n∈N*时，试比较af（2）+f（3）+…+f（n）与2n-2的-数学试题及答案

1、试题题目：已知奇函数f(x)=logabx+1x-1，（a＞0，且a≠1）（Ⅰ）求b的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知奇函数f(x)=loga

bx+1

x-1

，（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）对于x∈[2，4]f(x)＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）当n≥4，且n∈N^*时，试比较a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}与2ⁿ-2的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由f(x)=loga

bx+1

x-1

，f(-x)=loga

-bx+1

-x-1

=loga

bx-1

x+1

f(x)+f(-x)=loga

bx+1

x-1

+loga

bx-1

x+1

=loga

b2x2-1

x2-1

=0
∴

b2x2-1

x2-1

=1恒成立，b²=1，b=±1经检验b=1
（Ⅱ）由x∈[2，4]时，f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
①当a＞1时
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

＞0对x∈[2，4]恒成立
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
则g（x）=-x³+7x²+x-7g′(x)=-3x2+14x+1=-3(x-

7

3

)2+

52

3

∴当x∈[2，4]时，g'（x）＞0
∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）_min=g（2）=15
∴0＜m＜15
②当0＜a＜1时
由x∈[2，4]时，f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
∴

x+1

x-1

＜

m

(x-1)2(7-x)

对x∈[2，4]恒成立
∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）_max=g（4）=45
∴m＞45
综上，当a＞1时，0＜m＜15；
当0＜a＜1时，m＞45
（Ⅲ）∵f(2)+f(3)++f(n)=loga3+loga

4

2

+loga

5

3

++loga

n

n-2

+loga

n+1

n-1

=loga(3×

4

2

×

5

3

××

n

n-2

×

n+1

n-1

)=loga

n(n+1)

2

∴af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

当n=2时，

n(n+1)

2

=3，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2
当n=3时，

n(n+1)

2

=6，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2
当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
下面证明：当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
当n≥4时，2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²++C_n^n-1＞n+

n(n-1)

2

+n=

n2+3n

2

＞

n(n+1)

2

∴当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
h(4)=

4×5

2

-24+2=-4＜0n≥4时，

n(n+1)

2

-2n+2＜0，即

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
∴当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知奇函数f(x)=logabx+1x-1，（a＞0，且a≠1）（Ⅰ）求b的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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