已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．（I）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求f（x）的解析式；（II）若x∈[0，1]，函数f（x）图象上的任意一点的切线斜率为k，当k≥-1恒成-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．（I）若函数f（x）在x=0，x=4处取得..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（I）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求f（x）的解析式；
（II）若x∈[0，1]，函数f（x）图象上的任意一点的切线斜率为k，当k≥-1恒成立时，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由f′（x）=-3x²+2ax得x=0或x=

2a

3

.
∴

2a

3

=4得a=6．（3分）
当x＜0，f′（x）＜0．当0＜x＜4时，f′（x）＞0．
故当x=0时，f（x）达到极小值f（0）=b，∴b=-1．
∴f（x）=-x³+6x²-1；（6分）
（II）当x∈[0，1]时，
k=f′（x）=-3x²+2ax≥-1恒成立，
即令g（x）=3x²-2ax-1≤0
对一切x∈[0，1]恒成立，（9分）
只需

g(0)=-1≤0

g(1)=2-2a≤0

即a≥1．
所以，实数a的取值范围为[1，+∞）．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．（I）若函数f（x）在x=0，x=4处取得..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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