已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．（1）若x∈N*，试求f（x）的解析式；（2）若x∈N*，且x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，求实数a的取值-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．
（1）若x∈N^*，试求f（x）的解析式；
（2）若x∈N^*，且x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）+0+1，f（0）=-1，
令y=1得，f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4，
即f（x+1）-f（x）=2x+4，
∴f（2）-f（1）=2×1+4，f（3）-f（2）=2×2+4，f（4）-f（3）=2×3+4，…
f（x）-f（x-1）=2×（x-1）+4，
累加得：f（x）-f（1）=2（1+2+3+4…+（x-1））+4（x-1）=x²+3x-4，又 f（1）=1，
∴f（x）═x²+3x-3，x∈N^*．
（2）∵x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，
∴x²+3x-3≥（a+7）x-（a+10）恒成立，
即 a≤

x2-4x+7

x-1

=

(x-1)2-2(x-1)+4

x-1

=（x-1）+

4

x-1

-2，
由基本不等式得（x-1）+

4

x-1

-2≥4-2=2 （当且仅当x=3时，等号成立），
∴（x-1）+

4

x-1

-2 的最小值是2，，∴a≤2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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