已知函数f（x）=x3-2ax2+x（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求实数a的最大值；（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-2ax2+x（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求实..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-2ax²+x
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求实数a的最大值；
（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=3x²-4ax+1，
∵f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=3x²-4ax+1≥0（x＞1）恒成立，即a≤

3x

4

+

1

4x

（x＞1）恒成立．
令h（x）=

3x

4

+

1

4x

，得h′(x)=

1

4

(3-

1

x2

)＞

1

4

(3-1)＞0（x＞1），
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=

3

4

+

1

4

=1，
∴a≤1，故实数a的最大值为1．
（Ⅱ）由题意知x³-2ax²+x≥ax（x＞0）恒成立，即a≤

x2+1

2x+1

（x＞0）恒成立，
令r（x）=

x2+1

2x+1

（x＞0），则r′(x)=

2(x2+x-1)

(2x+1)2

，由r′（x）＜0得0＜x＜

5

-1

2

；由r′（x）＞0得x＞

5

-1

2

，
∴r（x）在（0，

5

-1

2

）上单调递减，在(

5

-1

2

，+∞)上单调递增，∴r(x)min=r(

5

-1

2

)=

5

-1

2

．
∴a≤

5

-1

2

，
故a的取值范围为(-∞，

5

-1

2

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-2ax2+x（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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