已知函数f（x）=log2x+2a+1x-3a+1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；（3）在（2）的条件下，记f-1（x）为f（x）的反函数，若-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=log2x+2a+1x-3a+1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log2

x+2a+1

x-3a+1

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；
（3）在（2）的条件下，记f^-1（x）为f（x）的反函数，若关于x的方程f^-1（x）=5k?2^x-5k有解，求k的取值范围．

试题来源：静安区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）

x+2a+1

x-3a+1

＞0，
所以当a＞0时，定义域为（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞）
当a＜0时，定义域为（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）；
当a=0时，定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）（4分）
（2）函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，
当且仅当-2a-1=-（3a-1）?a=2，
此时，f(x)=log2

x+5

x-5

．（6分）
对于定义域D=（-∞，-5）∪（5，+∞）内任意x，-x∈D，
f(-x)=lg

-x+5

-x-5

=lg

x-5

x+5

=-lg

x+5

x-5

=-f(x)，所以f（x）为奇函数；（8分）
当x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）内单调递减；
由于f（x）为奇函数，所以在（-∞，-5）内单调递减；（10分）
（3）f-1(x)=

5(2x+1)

2x-1

，x≠0 （12分）
方程f^-1（x）=5k?2^x-5k即

2x+1

2x-1

=k(2x-1)，令2^x=t，则t＞0且t≠1，得k=

t+1

(t-1)2

，
又

t+1

(t-1)2

∈(0，+∞)，所以当k＞0，f^-1（x）=5k?2^x-5k解．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=log2x+2a+1x-3a+1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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