已知函数f（x）是区间D?[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f1（x）+f2（x），且满足下列条件：①f1（x）是D上的增函数；②f2（x）是D上的减函数；③函数f2（x）的值域A?[0，+∞），则称函-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）是区间D?[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）是区间D?[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f₁（x）+f₂（x），且满足下列条件：①f₁（x）是D上的增函数；②f₂（x）是D上的减函数；③函数f₂（x）的值域A?[0，+∞），则称函数f（x）是区间D上的“偏增函数”．
（1）（i）问函数y=sinx+cosx是否是区间(0，

π

4

)上的“偏增函数”？并说明理由；
（ii）证明函数y=sinx是区间(0，

π

4

)上的“偏增函数”．
（2）证明：对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D?[0，+∞），使f（x）为D上的“偏增函数”．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）（i） y=sinx+cosx是区间(0，

π

4

)上的“偏增函数”．
记f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，显然f₁（x）=sinx在(0，

π

4

)上单调递增，f₂（x）=cosx在(0，

π

4

)上单调递减，
且f₂（x）=cosx∈（

2

，1）?[0，+∞），
又y=f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)在(0，

π

4

)上单调递增，
故y=sinx+cosx是区间(0，

π

4

)上的“偏增函数”．
（ii）证明：y=sinx=(sinx-cosx)+cosx=

2

sin(x-

π

4

)+cosx，
记f1(x)=

2

sin(x-

π

4

)，f2(x)=cosx，
显然f1(x)=

2

sin(x-

π

4

)在(0，

π

4

)上单调递增，f₂（x）=cosx在(0，

π

4

)上单调递减，
且f₂（x）=cosx∈（

2

，1）?[0，+∞），
又y=f（x）=f₁（x）+f₂（x）=sinx在(0，

π

4

)上单调递增，
故y=sinx是区间(0，

π

4

)上的“偏增函数”．
（2）证明：①当b＞0时，令f₁（x）=（k+1）x，f₂（x）=-x+b，D=（0，b），显然D=（0，b）?[0，+∞），
∵k＞0，∴f（x）=kx+b在（0，b）上单调递增，
f₁（x）=（k+1）x在（0，b）上单调递增，f₂（x）=-x+b在（0，b）上单调递减，
且对任意的x∈（0，b），b＞f₂（x）＞f₂（b）=0，
因此b＞0时，必存在一个区间（0，b），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数．
②当b≤0时，取c＞0，且满足c+b＞0，令f₁（x）=（k+1）x-c，f₂（x）=-x+b+c，D=（0，b+c）?[0，+∞），
显然，f（x）=kx+b在（0，b+c）上单调递增，
f₁（x）=（k+1）x-c在（0，b+c）上单调递增，f₂（x）=-x+b+c在（0，b+c）上单调递减，
且对任意的（0，b+c），b+c＞f₂（x）＞f₂（b+c）=0，
因此b≤0时，必存在一个区间（0，b+c），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数”．
综上，对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D?[0，+∞），
使f（x）为D上的“偏增函数”．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）是区间D?[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：