例2：已知f（x）=ax2+bx+c的图象过点（-1，0），是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f（x）≤x2+12对一切实数x都成立？-数学试题及答案

1、试题题目：例2：已知f（x）=ax2+bx+c的图象过点（-1，0），是否存在常数a、b、c，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

例2：已知f（x）=ax²+bx+c的图象过点（-1，0），是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f（x）≤

x2+1

2

对一切实数x都成立？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵f（x）的图象过点（-1，0），∴a-b+c=0①
∵x≤f（x）≤

x2+1

2

对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．②
由①②得b=

1

2

，c=

1

2

-a．
∴f（x）=ax²+

1

2

x+

1

2

-a．
故x≤ax²+

1

2

x+

1

2

-a≤

x2+1

2

对一切x∈R成立，
也即

ax2-

1

2

x+

1

2

-a≥0

(1-2a)x2-x+2a≥0

恒成立?

△1≤0

△2≤0

a＞0

1-2a＞0

?

1

4

-4a(

1

2

-a)≤0

1-8a(1-2a)≤0

a＞0

1-2a＞0.

解得a=

1

4

．∴c=

1

2

-a=

1

4

．
∴存在一组常数a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，使不等式x≤f（x）≤

x2+1

2

对一切实数x均成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“例2：已知f（x）=ax2+bx+c的图象过点（-1，0），是否存在常数a、b、c，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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