设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x≤0时，f（x）=2x3+5ax2+4a2x+b．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当1＜a≤3时，求函数f（x）在（0，1]上的最大值g（a）；（Ⅲ）如果对满足1＜a≤3的一-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x≤0时，f（x）=2x3+5ax2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x≤0时，f（x）=2x³+5ax²+4a²x+b．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当1＜a≤3时，求函数f（x）在（0，1]上的最大值g（a）；
（Ⅲ）如果对满足1＜a≤3的一切实数a，函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，求实数b的取值范围．

试题来源：深圳二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，则
f（x）=-f（-x）=2x³-5ax²+4a²x-b．
当x=0时，f（0）=-f（-0）∴f（0）=0；
∴f（x）=

2x3+5ax2+4a2x+b，(-1≤x＜0)

2x3-5ax2+4a2x-b，(0＜x≤1)

f(0)=0

；
（Ⅱ）当0＜x≤1时，f′（x）=6x²-10ax+4a²=2（3x-2a）（x-a）=6（x-

2a

3

）（x-a）．
①当

2

3

＜

2a

3

＜1，即1＜a＜

3

2

时，
当x∈（0，

2a

3

）时，f′（x）＞0，当x∈（

2a

3

，1]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

2a

3

）单调递增，在（

2a

3

，1]上单调递减，
∴g（a）=f（

2a

3

）=

28

27

a³-b．
②当1≤

2a

3

≤2，即

3

2

≤a≤3时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]单调递增．
∴g（a）=f（1）=4a²-5a+2-b，
∴g（a）=

28

27

a3-b，(1＜a＜

3

2

)

4a2-5a+2-b，(

3

2

≤a≤3)

（Ⅲ）要使函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必须f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．
也即是对满足1＜a≤3的实数a，g（a）的最大值要小于或等于0．
①当1＜a≤

3

2

时，g′（a）=

28

9

a²＞0，此时g（a）在（1，

3

2

）上是增函数，
则g（a）＜

28

27

(

3

2

)3-b=

7

2

-b．∴

7

2

-b≤0，解得b≥

7

2

；
②当

3

2

≤a≤3时，g′（a）=8a-5＞0，此时，g（a）在[

3

2

，3]上是增函数，g（a）的最大值是g（3）=23-b．
∴23-b≤0，解得b≥23．
由①、②得实数b的取值范围是b≥23．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x≤0时，f（x）=2x3+5ax2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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