发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-07 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)证明:∵对k∈N*,f(f(k))=3k,∴f[f(f(k))]=f(3k)①, 由已知f(f(k))=3k,∴f[f(f(k))]=3f(k)②, 由①、②得f(3k)=3f(k); (Ⅱ)若f(1)=1,由已知f(f(k))=3k得f(1)=3,矛盾; 设f(1)=a>1,∴f(f(1))=f(a)=3,③ 由f(k)严格递增,即1<a?f(1)<f(a)=3.,∴
由③有f(f(1))=f(a)=3, 故f(f(1))=f(2)=3, ∴f(1)=2,f(2)=3,f(3)=3f(1)=6,f(6)=f(3?2)=3f(2)=9,f(9)=3f(3)=18,f(18)=3f(6)=27,f(27)=3f(9)=54,f(54)=3f(18)=81,… 依此类推归纳猜出:f(3k-1)=2×3k-1(k∈N*). 下面用数学归纳法证明: (1)当k=1时,显然成立; (2)假设当k=l(l≥1)时成立,即f(3l-1)=2×3l-1, 那么当k=l+1时,f(3l)=f(3×3l-1)=3f(3l-1)=3×2×3l-1=2?3l.猜想成立, 由(1)、(2)所证可知,对k∈N*f(3k-1)=2×3k-1成立. (Ⅲ)存在p=3k-1+1,当p个连续自然数从3k-1→2×3k-1时, 函数值正好也是p个连续自然数从f(3k-1)=2×3k-1→f(2×3k-1)=3k. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x1,x2∈A,当x1<x2时,都有..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的奇偶性、周期性”。