已知函数f(x)=eaxx2+xa+1a-3e249(a∈R，a≠0，)，g(x)=bx(b∈R)．（1）当a＞14时，求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若在区间[2，+∞）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求b的取值范-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=eaxx2+xa+1a-3e249(a∈R，a≠0，)，g(x)=bx(b∈R)．（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

eax

x2+

x

a

+

1

a

-

3e2

49

(a∈R，a≠0，)，g(x)=bx(b∈R)．
（1）当a＞

1

4

时，求f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，若在区间[2，+∞）上存在一点x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求b的取值范围．

试题来源：钟祥市模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=

eax(ax2-x+

a-1

a

)

(x2+

x

a

+

1

a

)2

，因e^ax＞0且a＞

1

4

，故只需讨论ax2-x+

a-1

a

的符号
所以 ①当a≥

5

4

时，f′（x）≥0，f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数
②当

1

4

＜a＜

5

4

时，令f′（x）=0解得x1=

1-

5-4a

2a

，x2=

1+

5-4a

2a

．
当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：

x

(-∞，

1-

5-4a

2a

)

1-

5-4a

2a

(

1-

5-4a

2a

，

1+

5-4a

2a

)

1+

5-4a

2a

(

1+

5-4a

2a

，+∞)

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

∴f（x）在(-∞，

1-

5-4a

2a

)，(

1+

5-4a

2a

，+∞)，为增函数，
f（x）在(

1-

5-4a

2a

，

1+

5-4a

2a

)为减函数． …（6分）
（2）考查反面情况：?x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即h(x)=

ex

x2+x+1

-

3e2

49

-bx≥0在x∈[2，+∞）上恒成立．
首先h(2)=

e2

7

-

3e2

49

-2b≥0，即b≤

2e2

49

，其次，h′(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)

-b，考虑M(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)

因M′(x)=

ex(x2+x+1)[x3(x-2)+3x2+2x-1]

(x2+x+1)4

＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，
所以M(x)≥M(2)=

2e2

49

，
所以当b≤

2e2

49

时，h′(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)

-b≥

2e2

49

-b≥0，故h（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，
又h（2）≥0，所以h(x)=

ex

x2+x+1

-

3e2

49

-bx≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，所以b≤

2e2

49

，
综上b＞

2e2

49

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=eaxx2+xa+1a-3e249(a∈R，a≠0，)，g(x)=bx(b∈R)．（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：