在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．（1）设bn=an2n-1（n∈N*），证明：数列{bn}是等差数列；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求limn→∞Snn?2n+1的值；（3）设cn=2bn-1，数列{cn}的前n项和-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．（1）设bn=an2n-1（n∈N*），证明：数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（1）设bn=

an

2n-1

（n∈N^*），证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求

lim

n→∞

Sn

n?2n+1

的值；
（3）设c_n=2b_n-1，数列{c_n}的前n项和为T_n，dn=

Tn

4

a

2n

-Tn

，是否存在实数t，使得对任意的正整数n和实数m∈[1，2]，都有d₁+d₂+d₃+…+d_n≥log₈（2m+t）成立？请说明理由．

试题来源：闵行区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a_n+1=2a_n+2ⁿ，

an+1

2n

=

an

2n-1

+1，（2分）
b_n+1=b_n+1，故{b_n}为等差数列，b₁=1，b_n=n．（4分）
（2）由（1）可得a_n=n2^n-1（6分）
S_n=1?2⁰+2?2¹+3?2²+n?2^n-1
2S_n=1?2¹+2?2²+3?2³+（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ
两式相减，得-S_n=2⁰+2¹+2²+2^n-1-n?2ⁿ=2ⁿ-1-n?2ⁿ，即S_n=（n-1）2ⁿ+1（8分）
∴

lim

n→∞

Sn

n?2n+1

=

lim

n→∞

(n-1)2n+1

n?2n+1

=

1

2

（10分）
（3）由（1）可得T_n=n²，（12分）
∴dn=

Tn

4

a

2n

-Tn

=

1

4n-1

，(d1+d2+d3++dn+dn+1)-(d1+d2+d3++dn)=dn+1=

1

4n+1-1

＞0
∴{d₁+d₂+d₃++d_n}单调递增，即d1+d2+d3++dn≥d1=

1

3

，（14分）
要使d₁+d₂+d₃++d_n≥log₈（2m+t）对任意正整数n成立，
必须且只需

1

3

≥log8(2m+t)，即0＜2m+t≤2对任意m∈[1，2]恒成立．（16分）
∴[2+t，4+t]?（0，2]，即

2+t＞0

4+t≤2

?-2＜t≤-2矛盾．
∴满足条件的实数t不存在．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．（1）设bn=an2n-1（n∈N*），证明：数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：