已知函数f(x)=13x3-a2x2-2a2x+1(a＞0)（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=0恰有三个交点，求实数a的取值范围；（3）已知不等式f‘（x）＜x2-x+1对任意a∈（1，+∞）都-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3-a2x2-2a2x+1(a＞0)（1）求函数f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2-2a2x+1 (a＞0)
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=0恰有三个交点，求实数a的取值范围；
（3）已知不等式f'（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

试题来源：茂名一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f′（x）=x²-ax-2a²，令f′（x）=x²-ax-2a²=0，则 x=-a或x=2a
f′（x）=x²-ax-2a²＞0时，x＜-a或x＞2a
x=-a时，f（x）取得极大值f（-a）=

7

6

a3+1，x=2a时，f（x）取极小值
f（2a）=-

10

3

a3+1
（2）要使函数y=f（x）的图象与值线y=0恰有三个交点，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零，由（1）的极值可得

7

6

a3 +1＞0

-

10

3

a3+1＜0

解之得a＞

3

10

=

3	300

10

（3）要使f′（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立
即x²-ax-2a²＜x²-x+1，
（1-a）x＜2a²+1
∵a∈（1，+∞）∴1-a＜0
x＞

2a2+1

1-a

对任意a∈（1，+∞）都成立，则x大于

2a2+1

1-a

的最大值
∵

2a2+1

1-a

=-

2(a-1)2+4(a-1)+3

a-1

=-[2(a-1)+

3

a-1

+4]
由a∈（1，+∞），a-1＞0，∴2(a-1)+

3

a-1

≥2

6

，
当且仅当a=1+

6

2

时取等号，∴

2a2+1

1-a

≤-(2

6

+4)
故x＞(

2a2+1

1-a

)max=-(4+2

6

)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3-a2x2-2a2x+1(a＞0)（1）求函数f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：