已知函数f（x）=13x3+a-22x2-2ax-3．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，0]上的最小值；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=13x3+a-22x2-2ax-3．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

3

x³+

a-2

2

x²-2ax-3．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，0]上的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）a=1时，函数解析式为f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2- 2x-3其定义域为R．
f′（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．
同样，令f′（x）＜0，得（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．
所以f（x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数．
故f（x）在[-2，0]上的最小值是f（-2）与f（0）中的较小者．
f（-2）=-

8

3

-2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
所以f（x）在[-2，0]上的最小值为f（-2）=-

11

3

．
（Ⅱ）f′（x）=x²+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0． ①
当-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解为x＜2或x＞-a，
所以f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∝）；
当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（-∝，-a）和（2，+∞）；
当-a=2时，即a=-2，不等式①的解为x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2处连续所以f（x）的单调增区间是实数集R．
综上：
（1）当a＜-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∞）；
（2）当a＞-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，-a）和（2，+∞）；
（3）当a=-2时，f（x）在实数集R上的单调递增．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=13x3+a-22x2-2ax-3．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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