设函数f（x）=（x-a）ex+（a-1）x+a，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）（i）设g（x）是f（x）的导函数，证明：当a＞2时，在（0，+∞）上恰有一个x0使得g（x0）=0；（ii）求实数a的取值范围，-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=（x-a）ex+（a-1）x+a，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=（x-a）e^x+（a-1）x+a，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）（i）设g（x）是f（x）的导函数，证明：当a＞2时，在（0，+∞）上恰有一个x₀使得g（x₀）=0；
（ii）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立．注：e为自然对数的底数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=1时，f（x）=（x-1）e^x+1，f'（x）=xe^x--------------------------------------（2分）
当f'（x）＜0时，x＜0；当f'（x）＞0时，x＞0
所以函数f（x）的减区间是（-∞，0）；增区间是（0，+∞）-------------------------（4分）
（2）证明：（ⅰ）g（x）=f'（x）=e^x（x-a+1）+（a-1），g'（x）=e^x（x-a+2）------------------（5分）
当g'（x）＜0时，x＜a-2；当g'（x）＞0时，x＞a-2
因为a＞2，所以函数g（x）在（0，a-2）上递减；在（a-2，+∞）上递增-----------------（7分）
又因为g（0）=0，g（a）=e^a+a-1＞0，
所以在（0，+∞）上恰有一个x₀使得g（x₀）=0．--------------------------------------------------（9分）
（ⅱ）若a≤2，可得在x∈[0，2]时，g（x）≥0，从而f（x）在[0，2]内单调递增，而f（0）=0，
∴f（x）≥f（0）=0，不符题意．-------------------------------------------------（10分）
∴a＞2
由（ⅰ）知f（x）在（0，x₀）递减，（x₀，+∞）递增，
设f（x）在[0，2]上最大值为M，则M=max{f（0），f（2）}，
若对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，则

f(0)≤0

f(2)≤0

，------------------------------------（13分）
由f（2）≤0得（2-a）e²+2a-2+a≤0，∴a≥

2e2-2

e2-3

=2+

4

e2-3

＞2，
又f（0）=0，∴a≥

2e2-2

e2-3

．---------------------------------------------------------（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=（x-a）ex+（a-1）x+a，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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