已知函数f（x）=ln(x+1)x+1（1）求函数f（x）的最大值；（2）设函数g（x）=x(x+1)x+1，证明：当x＞0时，函数f（x）的图象总在函数g（x）图象的下方．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ln(x+1)x+1（1）求函数f（x）的最大值；（2）设函数g（x）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

ln(x+1)

x+1

（1）求函数f（x）的最大值；
（2）设函数g（x）=

x

(x+1)

x+1

，证明：当x＞0时，函数f（x）的图象总在函数g（x）图象的下方．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为函数f（x）=

ln(x+1)

x+1

的定义域为（-1，+∞）．
f′(x)=

1-ln(x+1)

(x+1)2

，由f′（x）=0得x=e-1．
所以当x∈（-1，e-1）时，f′（x）＞0．
当x∈（e-1，+∞）时，f′（x）＜0．
所以当x=e-1时f（x）由最大值，最大值为f（e-1）=

1

e

；
（2）证明：f（x）-g（x）＜0等价于

ln(x+1)

x+1

-

x

(x+1)

x+1

＜0．
不妨设

x+1

=t 则x=t²-1（t＞1）．
于是不等式等价于2tlnt＜t²-1．
设F（t）=2tlnt-t²+1
则F'（t）=2+lnt-2t
当t＞1时，F'（x）＜0，F（x）单调递减．
所以F（t）＜f（1）=0．
也就等价于f（x）＜g（x）恒成立（当x=1时等号成立）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln(x+1)x+1（1）求函数f（x）的最大值；（2）设函数g（x）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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