已知函数f（x）=ax-lnx．（a为常数）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，+∞）上的最值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax-lnx．（a为常数）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax-lnx．（a为常数）
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，+∞）上的最值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x-lnx，x∈（0，+∞）
∵f′（x）=1-

1

x

，令f'（x）=0得x=1
∵当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，1）上为减函数
∵当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数
∴当x=1时，函数f（x）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=1
（Ⅱ）∵f′（x）=a-

1

x

，
若a≤0，则对任意的x∈[1，+∞）都有f'（x）＜0，∴函数f（x）在[1，+∞）上为减函数
∴函数f（x）在[1，+∞）上有最大值，没有最小值，f（x）_最大值=f（1）=a；
若a＞0，令f'（x）=0得x=

1

a

当0＜a＜1时，

1

a

＞1，当x∈（1，

1

a

）时f'（x）＜0，函数f（x）在（1，

1

a

）上为减函数
当x∈（

1

a

，+∞）时f'（x）＞0∴函数f（x）在（

1

a

，+∞）上为增函数
∴当x=

1

a

时，函数f（x）有最小值，f（x）最小值=f（

1

a

）=1-ln

1

a

当a≥1时，

1

a

≤1在[1，+∞）恒有f'（x）≥0
∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，函数f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=a．
综上得：当a≤0时，函数f（x）在[1，+∞）上有最大值，f（x）_最大值=a；
当0＜a＜1时，函数f（x）有最小值，f（x）最小值=1-ln

1

a

，没有最大值；
当a≥1时，函数f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=a，没有最大值．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax-lnx．（a为常数）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：