设函数f(x)=ex-k2x2-x．（1）若k=0，求f（x）的最小值；（2）若当x≥0时f（x）≥1，求实数k的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=ex-k2x2-x．（1）若k=0，求f（x）的最小值；（2）若当x≥0时f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=ex-

k

2

x2-x．
（1）若k=0，求f（x）的最小值；
（2）若当x≥0时f（x）≥1，求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）k=0时，f（x）=e^x-x，
f'（x）=e^x-1．
当x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，0）上单调减小，在（0，+∞）上单调增加
故f（x）的最小值为f（0）=1
（2）f'（x）=e^x-kx-1，
f''（x）=e^x-k
当k≤1时，f''（x）≥0（x≥0），
所以f'（x）在[0，+∞）上递增，
而f'（0）=0，
所以f'（x）≥0（x≥0），
所以f（x）在[0，+∞）上递增，
而f（0）=1，
于是当x≥0时，f（x）≥1．
当k＞1时，
由f''（x）=0得x=lnk
当x∈（0，lnk）时，f''（x）＜0，所以f'（x）在（0，lnk）上递减，
而f'（0）=0，于是当x∈（0，lnk）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，lnk）上递减，
而f（0）=1，所以当x∈（0，lnk）时，f（x）＜1．
综上得k的取值范围为（-∞，1]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=ex-k2x2-x．（1）若k=0，求f（x）的最小值；（2）若当x≥0时f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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