已知函数f(x)=lnx-14x+34x，g（x）=x2-2bx+4．若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b取值范围是_____

1、试题题目：已知函数f(x)=lnx-14x+34x，g（x）=x2-2bx+4．若对任意x1∈（0，2），存..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

，g（x）=x²-2bx+4．若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），则实数b取值范围是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可．
∵函数f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

（x＞0）
∴f′（x）=

1

x

-

1

4

+

-3

4x2

=-

(x-1)(x-3)

4x2

，
若f′（x）＞0，则1＜x＜3，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，则x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；
f（x）在x∈（0，2）上有极值，
f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）_min=f（1）=-

1

4

+

3

4

=

1

2

∵g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，对称轴x=b，x∈[1，2]，
当1＜b＜2时，g（x）在x=b处取最小值g（x）_min=g（b）=4-b²，由

1

2

≥4-b²，得b≥

14

2

或b≤-

14

2

，所以2＞b≥

14

2

．
当b≤1时，g（x）在[1，2]上是增函数，在x=1处取最小值g（x）_min=g（1）=1-2b=4=5-2b；由

1

2

≥5-2b，得b≥

9

4

，与b≤1矛盾，此时无解．
当b≥2时，g（x）在[1，2]上是减函数，在x=2处取最小值g（x）_min=g（2）=4-4b+4=8-4b；由

1

2

≥8-4b，得得b≥

15

8

，此时b≥2．
综上所述，b取值范围是[

14

2

，2）∪[2，+∞）=[

14

2

，+∞)
故答案为：[

14

2

，+∞)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx-14x+34x，g（x）=x2-2bx+4．若对任意x1∈（0，2），存..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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