已知函数f（x）=ln（1+2x）-2x+ax2，（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在两个极值点，且都小于1，求a的取值范围；（3）若对f（x）定义域内的任意x，不等式f（x）≤0恒成立，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ln（1+2x）-2x+ax2，（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln（1+2x）-2x+ax²，
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）存在两个极值点，且都小于1，求a的取值范围；
（3）若对f（x）定义域内的任意x，不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）若a=1时，f（x）=ln（1+2x）-2x+x²，∴f′(x)=

2x(2x-1)

1+2x

（x＞-

1

2

）．
当x∈(-

1

2

，0)∪(

1

2

，+∞)，f′（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为(-

1

2

，0)和(

1

2

，+∞)；
当x∈(0，

1

2

)，f′（x）＜0，则f（x）的单调递减区间为(0，

1

2

)；
（2）f′(x)=2?

2ax2-(2-a)x

1+2x

（x＞-

1

2

）．
由函数f（x）存在两个极值点，可知a≠2
∵两个极值点都小于1，结合函数的定义域有-

1

2

＜

1

a

-

1

2

＜1，解得a＞

2

3

综上，a＞

2

3

且a≠2；
（3）令t=2x，则原不等式等价于ln(1+t)-t≤-

1

4

at2
t=0，满足题设；
t≠0，有

ln(1+t)-t

t2

≤-

a

4

∵ln（1+t）-t＜0恒成立
∴

ln(1+t)-t

t2

＜0
∴0≤-

a

4

∴a≤0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln（1+2x）-2x+ax2，（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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