发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-13 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)当a=
∵曲线f(x)与直线有三个交点 ∴x3-4x=-x+m有三个不同的根 ∴x3-3x=m有三个不同的根, 令g(x)=x3-3x,g'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1) ∴g(x)在(-1,1)上递减,(1,+∞),(-∞,-1)上递增g(-1)极大值=2,g(1)极小值=-2 ∴当-2<m<2时,曲线f(x)与直线有三个交点 (Ⅱ)(i)f(x)=3x2-3a∈[-3a,+∞], ∵对任意m∈R,直线x+y+m=0都不与y=(x)相切, ∴-1不属于[-3a,+∞],-1<-3a,实数a的取值范围是a<
(ii)存在,证明方法1:问题等价于当x∈[-1,1]时,|f(x)|max≥
设g(x)=|f(x)|,则g(x)在x∈[-1,1]上是偶函数, 故只要证明当x∈[0,1]时,|f(x)|max≥
①当a≤0时,f′(x)≥0,f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)=0,g(x)=f(x) g(x)max=f(1)=1-3a>1>
②当0<a<
列表:
注意到f(0)=f(
∴x∈(0,
∴g(x)max=max{f(1),-f(
由f(1)=1-3a≥
∴g(x)max=f(1)=1-3a≥
由-f(
∴g(x)max=-f(
∴在x∈[-1,1]上至少存在一个x0,使得|f(x0)|≥
(II)存在,证明方法2:反证法 假设在x∈[-1,1]上不存在x0,使得使得|f(x0)|≥
,即任意|f(x0)|<
,则g(x)在x∈[-1,1],上是偶函数, ∴x∈[0,1]时,|f(x)|max<
①当a≤0时,f′(x)≥0,f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)=0,g(x)=f(x) g(x)max=f(1)=1-3a<
②当0<a<
注意到f(0)=f(
∴x∈(0,
∴g(x)max=max{f(1),-f(
注意到0<a<
∴x∈[-1,1],|f(x)0|<
∴假设不成立,原命题成立. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知曲线f(x)=x3-3ax(a∈R),直线y=-x+m,m∈R(Ⅰ)当a=43时,且曲线..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的极值与导数的关系”。