已知a＞0，函数f(x)=|x-ax+2a|．（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂-数学试题及答案

1、试题题目：已知a＞0，函数f(x)=|x-ax+2a|．（I）记f（x）在区间[0，4..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知a＞0，函数f(x)=|

x-a

x+2a

|．
（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：湖南试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当0≤x≤a时，f(x)=

a-x

x+2a

；当x＞a时，f(x)=

x-a

x+2a

∴当0≤x≤a时，f′(x)=

-3a

(x+2a)2

＜0，f（x）在（0，a）上单调递减；
当x＞a时，f′(x)=

3a

(x+2a)2

＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增．
①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=

1

2

②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增
∴g（a）=max{f（0），f（4）}
∵f（0）-f（4）=

1

2

-

4-a

4+2a

=

a-1

2+a

∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=

4-a

4+2a

；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=

1

2

，
综上所述，g（a）=

4-a

4+2a

，0＜a≤1

1

2

，a＞1

；
（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；
当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x₁，x₂∈（0，4）（x₁＜x₂），使曲线y=f（x）在
两点处的切线互相垂直，则x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），且f′（x₁）f′（x₂）=-1
∴

-3a

(x1+2a)2

?

3a

(x2+2a)2

=-1
∴x1+2a=

3a

x2+2a

①
∵x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），
∴x₁+2a∈（2a，3a），

3a

x2+2a

∈（

3a

4+2a

，1）
∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（

3a

4+2a

，1）的交集非空
∵

3a

4+2a

＜3a，∴当且仅当0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

时，A∩B≠?
综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，

1

2

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a＞0，函数f(x)=|x-ax+2a|．（I）记f（x）在区间[0，4..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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