设x=4是函数f（x）=（x2+ax+b）e4-x（x∈R）的一个极值点；（I）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0，g（x）=(a2+334)2x，若存在ξ1，ξ2∈[0，5]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜-数学试题及答案

1、试题题目：设x=4是函数f（x）=（x2+ax+b）e4-x（x∈R）的一个极值点；（I）求a与b的关..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

设x=4是函数f（x）=（x²+ax+b）e^4-x（x∈R）的一个极值点；
（I）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，g（x）=(a2+

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4

)2x，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，5]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜4成立，求a的取值范围．

试题来源：临沂二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵f'（x）=（2x+a-x²-ax-b）e^4-x=-[x²+（a-2）x+b-a]e^4-x
由f'（4）=0，得16+（a-2）4+b-a=0
即b=-3a-8，

∴f(x)=(x2+ax-3a-8)e4-x

f′(x)=-[x2+(a-2)x-4a-8]

=-（x-4）（x+a+2）e^4-x

令f′(x)=0，得x1=4，x2=-a-2

∵x=4是f(x)的极值点，故x1≠x2，

即a≠-6

当a＜-6时，x1＜x2，

故f(x)在(-∞，4]上为减函数，在[4，-a-2]上为增函数，

在[-a-2，+∞）上为减函数．

当a＞-6时，x1＞x2

故f(x)在(-∞，-a-2]上为减函数，在[-a-2，4]上为增函数

在[4，+∞）上为减函数．
（II）当a＞0时，-a-2＜0，
∴f（x）在[0，4]上为增函数，在[4，5]上为减函数，

∵f(0)=be4=-(3a+8)e4＜0

f(5)=(25+5a-3a-8)e-1=(2a+17)e-1＞0

∴f（0）＜f（5），
f（4）=16+4a-3a-8=a+8，

∴f(x)在[0，5]上的值域是[-(3a+8)e4，a+8]

而g(x)=(a2+

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4

)2x在[0，5]上为增函数

∴值域为[a2+

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4

，(a2+

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4

)25]，
∵(a2+

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4

)-(a+8)=(a-

1

2

)2≥0，
若存在ξ₁，ξ₂∈[0，5]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜4成立．
只要(a2+

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4

)-(a+8)＜4，

即(a-

1

2

)2＜4

又a＞0∴0＜a＜

5

2

故a的取值范围是(0，

5

2

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设x=4是函数f（x）=（x2+ax+b）e4-x（x∈R）的一个极值点；（I）求a与b的关..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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