在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为_____

1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x³+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

根据题意设P的坐标为（t，-t³+1），且0＜t＜1，
求导得：y′=-3x²，故切线的斜率k=y′_|x=t=-3t²，
所以切线方程为：y-（-t³+1）=-3t²（x-t），
令x=0，解得：y=2t³+1；令y=0，解得：x=

2t3+1

3t2

，
所以△AOB的面积S=

1

2

（2t³+1）?

2t3+1

3t2

=

1

6

(2t2+

1

t

) 2，
设y=2t²+

1

t

=2t²+

1

2t

+

1

2t

≥3

3

2t2?

1

2t

?

1

2t

，
当且仅当2t²=

1

2t

，即t³=

1

4

，即t=

3

1

4

取等号，
把t=

3

1

4

代入得：S_min=

3

3	2

4

．
故答案为：

3

3	2

4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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