已f（x）=13x3+ax2+89x+bg（x）=13x3+m2x-23m+1，且函数f（x）在x=23处取得极值2081．（I）求f（x）的解析式与单调区间；（Ⅱ）是否存在实数m，对任意的x1∈[-1，2]，都存在x0∈[0，1]，使得-数学试题及答案

1、试题题目：已f（x）=13x3+ax2+89x+bg（x）=13x3+m2x-23m+1，且函数f（x）在x=23处..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已f（x）=

1

3

x3+ax2+

8

9

x+bg（x）=

1

3

x3+m2x-

2

3

m+1，且函数f（x）在x=

2

3

处取得极值

20

81

．
（I）求f（x）的解析式与单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数m，对任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=3f（x₁）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′(x)=x2+2ax+

8

9

，f′(

2

3

)=

4

9

+

4

3

a+

8

9

=0得a=-1，
且f(

2

3

)=

20

81

，b=0，则 f(x)=

1

3

x3-x2+

8

9

x
f′(x)=x2-2x+

8

9

令f′(x)＞0得x＞

4

3

或x＜

2

3

；
f′(x)＜0得

2

3

＜x＜

4

3

；
∴f(x)的递增区间为(-∞，

2

3

)，(

4

3

，+∞)；
递减区间为(

2

3

，

4

3

)

（ II）由（1）得

x

-1

（-1，

2

3

）

2

3

（

2

3

，

4

3

）

4

3

（

4

3

，2）

2

f′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

-

20

9

增

20

81

减

16

81

增

4

9

所以当x₁∈[1，2]时，-

20

9

≤f（x₁）≤

4

9

，-

20

3

≤3f（x₁）≤

4

3

…（10分）
假设对任意的x₁∈[-1，2]时都存在x₀∈[0，1]时使得g（x₀）=3f（x₁）成立，
设g（x₀）的最大值为T，最小值为t，则要求T≥

4

3

，t≤-

20

3

又g'（x）=x²+m²，所以当x₀∈[0，1]时时T=g(1)=

1

3

+m2-

2

3

m+1≥

4

3

，m≥

2

3

，或m≤0
且t=g(0)=-

2

3

m+1≤-

20

3

，m≥

23

2

．
综上，m≥

23

2

；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已f（x）=13x3+ax2+89x+bg（x）=13x3+m2x-23m+1，且函数f（x）在x=23处..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：