已知函数f（x）=ax3-bx2+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6．（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若对任意的x∈[14，2]都有f（x）≥t2-2t-1成立，求函数g（x）≥t2+t-2的最值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3-bx2+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³-bx²+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6．
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若对任意的x∈[

1

4

，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函数g（x）≥t²+t-2的最值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由已知得切点（1，3），f′（x）=3ax²-2bx+9
（1）由题意可

f(1)=a-b+9+2=3

f′(1)=3a-2b+9=-3

，
解得

a=4

b=12

f（x）=4x³-12x²+9x+2，f′（x）=12x²-24x+9，
f′（x）=0得x=

1

2

或

3

2

，f′（x）＞0，得x＞

3

2

x＜

1

2

，
f′（x）＜0

1

2

＜x＜

3

2

，f（x）的单调增区间（

3

2

，+∞），（-∞，

1

2

），
f（x）的单调减区间（

1

2

，

3

2

）．

（2）由（1）可知，f（x）的极小值f（

3

2

）=2，
f（

1

4

）=

57

16

，f（2）=4，
∴f（x）[

1

4

，2]上的最小值2，
f（x）≥t²-2t-1x∈[

1

4

，2]上恒成立，t²-2t-1≤2，t²-2t-3≤0，
解-1≤t≤3，g（x）=t²+t-2，
故t=

1

2

时g（t）最小值-

9

4

，t=3时g（t）最大值为10．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3-bx2+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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