设函数f（x）=alnx-bx2（x＞0）；（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=-12相切①求实数a，b的值；②求函数f(x)在[1e，e]上的最大值．（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，32]，x∈(1，-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=alnx-bx2（x＞0）；（1）若函数f（x）在x=1处与..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0）；
（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切
①求实数a，b的值；
②求函数f(x)在[

1

e

，e]上的最大值．
（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，求实数m的取值范围．

试题来源：河南模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）①f′(x)=

a

x

-2bx
∵函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切∴

f′(1)=a-2b=0

f(1)=-b=-

1

2

，
解得

a=1

b=

1

2

（3分）
②f(x)=lnx-

1

2

x2，f′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

当

1

e

≤x≤e时，令f'（x）＞0得

1

e

≤x＜1；
令f'（x）＜0，得1＜x≤e∴f(x)在[

1

e

，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f(x)max=f(1)=-

1

2

（7分）（8分）
（2）当b=0时，f（x）=alnx若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，
则alnx≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，
即m≤alnx-x，对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，（8分）
令h（a）=alnx-x，则h（a）为一次函数，m≤h（a）_min∵x∈（1，e²]，∴lnx＞0，∴h(a)在a∈[0，

3

2

]上单调递增
∴h（a）_min=h（0）=-x，∴m≤-x对所有的x∈（1，e²]都成立，
∵1＜x≤e²，
∴-e²≤-x＜-1，∴m≤（-x）_min=-e²．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=alnx-bx2（x＞0）；（1）若函数f（x）在x=1处与..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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