（理科）如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=423，|CD|=2-423，AC⊥BD，M为CD的中点．（1）求点M的轨迹方程；（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ0，使M-数学试题及答案

1、试题题目：（理科）如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=4..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

（理科）如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=

4

2

3

，|CD|=2-

4

2

3

，AC⊥BD，M为CD的中点．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ₀，使

MP

=λ₀

PN

，且P点到A、B 的距离和为定值，
（3）过（0，

1

2

）的直线与轨迹E交于P、Q两点，且

OP

?

OQ

=0，求此直线方程．求点P的轨迹E的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设点M的坐标为M（x，y）（x≠0），则 C（x，y-1+

2

3

），D（x，y+1-

2

3

）
∵A（0，

2

3

），B（0，-

2

3

），AC⊥BD
∴

AC

?

BD

=0，即（x，y-1）?（x，y+1）=0，
∴x²+y²=1（x≠0）．
（2）设P（x，y），则M（（1+λ₀）x，y），代入M的轨迹方程（1+λ₀）²x²+y²=1（x≠0）
∴P的轨迹方程为椭圆（除去长轴的两个端点）．
要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故1+

1

(1+λ0)2

=

8

9

，
∴λ₀=2
从而所求P的轨迹方程为9x²+y²=1（x≠0）．
（3）l的斜率存在，设方程为y=kx+

1

2

，代入椭圆方程可得（9+k²）x²+kx-

3

4

=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

k

9+k2

，x₁x₂=-

3

4(9+k2)

∵

OP

?

OQ

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
整理，得

-3(k2+1)

4(9+k2)

-

k2

2(9++k2)

+

1

4

=0
∴k=±

6

2

即所求l的方程为y=±

6

2

x+

1

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（理科）如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=4..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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