已知长方形ABCD，AB=22，BC=33．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（I）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆P的标准方程；（Ⅱ）已知定点E（-1，0），直线y=kx+t与-数学试题及答案

1、试题题目：已知长方形ABCD，AB=22，BC=33．以AB的中点O为原点建立如图所示的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知长方形ABCD，AB=2

2

，BC=

3

．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy．
（I）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆P的标准方程；
（Ⅱ）已知定点E（-1，0），直线y=kx+t与椭圆P交于M、N相异两点，证明：对作意的t＞0，都存在实数k，使得以线段MN为直径的圆过E点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意可得点A，B，C的坐标分别为(-

2

，0)，(

2

，0)，(

2

，

3

)
设椭圆的标准方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则2a=AC+BC=2

3

＞2，∴a=

3

．
又c=

2

，
∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆的标准方程是

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）将y=kx+t代入椭圆方程，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
由直线与椭圆有两个交点，所以△=（6kt）²-12（1+3k²）（t²-1）＞0，解得k2＞

t2-1

3

．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则x1+x 2=-

6kt

1+3k2

，x1?x2=

3(t2-1)

1+3k2

，
∵以MN为直径的圆过E点，∴

EM

?

EN

=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2，
∴(k2+1)

3(t2-1)

1+3k2

-(tk+1)

6kt

1+3k2

+t2+1=0，解得k=

2t2-1

3t

．
如果k2＞

t2-1

3

对任意的t＞0都成立，则存在k，使得以线段MN为直径的圆过E点．
(

2t2-1

3t

)2-

t2-1

3

=

(t2-1)2+t2

9t2

＞0，即k2＞

t2-1

3

．
∴对任意的t＞0，都存在k，使得以线段MN为直径的圆过E点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知长方形ABCD，AB=22，BC=33．以AB的中点O为原点建立如图所示的..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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