设抛物线C：y2=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．（1）设L的斜率为2，求|AB|的大小；（2）求证：OA?OB是一个定值．-数学试题及答案

1、试题题目：设抛物线C：y2=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设抛物线C：y²=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．
（1）设L的斜率为2，求|AB|的大小；
（2）求证：

OA

?

OB

是一个定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意得F（1，0），∴直线L的方程为y=2（x-1），
设直线L与抛物线的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=2(x-1)

y2=4x

消去y整理得x²-3x+1=0，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=1．
法一：|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

?

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

?

32-4?1

=5．
法二：|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=3+2=5．
（2）证明：设直线L的方程为x=ky+1，
设直线L与抛物线的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=ky+1

y2=4x

消去x整理得y²-4ky-4=0．
∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4，
∵

OA

?

OB

═（x₁，y₁）?（x₂，y₂）
=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+1）（ky₂+1）+y₁y₂
=k²y₁y₂+k（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-4k²+4k²+1-4=-3．
∴

OA

?

OB

是一个定值为-3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设抛物线C：y2=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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