如图，直线l与抛物线y2=x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴相交于点M，且y1y2=-1．（1）求证：M点的坐标为（1，0）；（2）求证：OA⊥OB；（3）求△AOB的面积的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，直线l与抛物线y2=x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴相..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

如图，直线l与抛物线y²=x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴相交于点M，且y₁y₂=-1．
（1）求证：M点的坐标为（1，0）；
（2）求证：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面积的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设M点的坐标为（x₀，0），直线l方程为x=my+x₀，
代入y²=x得y²-my-x₀=0①，
y₁，y₂是此方程的两根，
∴x₀=-y₁y₂=1，即M点的坐标为（1，0）．
（2）∵y₁y₂=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂=y₁²y₂²+y₁y₂=y₁y₂（y₁y₂+1）=0
∴OA⊥OB．
（3）由方程①，y₁+y₂=m，y₁y₂=-1，且|OM|=x₀=1，
于是S△AOB=

1

2

|OM||y1-y2|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

m2+4

≥1，
∴当m=0时，△AOB的面积取最小值1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，直线l与抛物线y2=x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴相..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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