已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，准线方程为x=±12，渐近线为y=±3x．（1）求双曲线的方程；（2）若A、B分别为双曲线的左、右顶点，双曲线的弦PQ垂直于x轴，求直线AP与-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，准线方程为x=±12，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，准线方程为x=±

1

2

，渐近线为y=±

3

x．
（1）求双曲线的方程；
（2）若A、B分别为双曲线的左、右顶点，双曲线的弦PQ垂直于x轴，求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
因为准线方程为x=±

1

2

，渐近线为y=±

3

x．
所以

a2

c

=

1

2

b

a

=

3

解得a=1，b=

3

，
所以双曲线方程为x2-

y2

3

=1
（2）设点P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），M（x，y），又知A（-1，0），B（1，0），
则可得到直线的方程PA：y=

y0

x0+1

(x+1)；
QB：y=

-y0

x0-1

(x-1)
由

y=

y0

x0+1

(x+1)

y=

-y0

x0-1

(x-1)

得

x0=

1

x

y0=

y

x

代入方程x02 -

y02

3

=1
得x2+

y2

3

=1，
又由|x₀|＞1得-1＜x＜1且x≠0得到xy≠0
所以直线AP与BQ的交点M的轨迹方程为x2+

y2

3

=1，（-1＜x＜1且xy≠0）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，准线方程为x=±12，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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