已知双曲线y2-x2=1，过上焦点F2的直线与下支交于A、B两点，且线段AF2、BF2的长度分别为m、n．（1）证明mn≥1；（2）若m＞n，当直线AB的斜率k∈[13，55]时，求mn的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线y2-x2=1，过上焦点F2的直线与下支交于A、B两点，且线段..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知双曲线y²-x²=1，过上焦点F₂的直线与下支交于A、B两点，且线段AF₂、BF₂的长度分别为m、n．
（1）证明mn≥1；
（2）若m＞n，当直线AB的斜率k∈[

1

3

，

5

]时，求

m

n

的取值范围．

试题来源：武汉模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题设知双曲线上焦点为(0，

2

)．
设直线AB的方程为y=kx+

2

，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当k=0时，A、B两点的横坐标分别为1和-1，
此时mn=1．
当k≠0时，将y=kx+

2

代入双曲线方程，消去x得(1-k2)y2-2

2

y+k2+2=0．（2分）由

1-k2≠0

y1+y2=

2

1-k2

＞0，得k2＜1.

y1?y2=

k2+2

1-k2

＞0

（4分）
由双曲线的第二定义，知m=-1+

2

y1，n=-1+

2

y2（8分）
∴mn=1+2y1y2-

2

(y1+y2)=

1+k2

1-k2

=1+

2

1

k2

-1

＞1．
综上，知mn≥1．（10分）
（2）设直线AB的方程为y=kx+

2

，代入双曲线方程，消去y并整理得(k2-1)x2+2

2

kx+1=0．
∴x1+x2=-

2

k

k2-1

，x1?x2=-

1

k2-1

．（8分）
令

m

n

=λ，则λ＞1，
∴

n

m

=

x2

-x1

，即x1=-λx2．
∴(1-λ)x2=

2

k

1-k2

，①
-λ

x

22

=

1

k2-1

．②
由①②，消去x2，得

(1-λ)2

λ

=

8k2

1-k2

，
即λ+

1

λ

=

8

1-k2

-6③（12分）
由k2∈[

1

9

，

1

5

]，得λ+

1

λ

∈[3，4]，而λ＞0，
∴

λ2-3λ+1≥0

λ2-4λ+1≤0

，解之得

3+

5

2

≤λ≤2+

3

，即为所求．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线y2-x2=1，过上焦点F2的直线与下支交于A、B两点，且线段..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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