已知F1（-1，0），F2（1，0）是椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，点G与F2关于直线l：x-2y+4=0对称，且GF1与l的交点P在椭圆上．（I）求椭圆方程；（II）若P、M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆上的-数学试题及答案

1、试题题目：已知F1（-1，0），F2（1，0）是椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，点G与F2关..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知F₁（-1，0），F₂（1，0）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两个焦点，点G与F₂关于直线l：x-2y+4=0对称，且GF₁与l的交点P在椭圆上．
（I）求椭圆方程；
（II）若P、M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是椭圆上的不同三点，直线PM、PN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否是定值？如果是，求出该定值，如果不是，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）F₂（1，0）关于直线L：x-2y+4=0对称点G（-1，4）
又GF₁与l的交点P在椭圆上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=|GF₁|=4．
∴b²=a²-c²=3．
因此，所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（II）由条件知直线PM，PN的斜率存在且不为0，
易得点P（-1，

3

2

），设直线PM的方程为y=k（x+1）+

3

2

，
由椭圆方程与直线PM方程联立消去y，
整理得（4k²+3）x²+4k（2k+3）x+4k²+12k-3=0，
∵P在椭圆上，∴方程两根为1，x₁，
∴1?x1=-

4k2+12k-3

4k2+3

，x1=-

4k2+12k-3

4k2+3

，
∵直线PM，PN的倾斜角互补，
∴直线PM，PN的斜率互为相反数，
∴x2= -

4k2-12k-3

4k2+3

．
则x1-x2=

-24k

4k2+3

，x1+x2=

6-8k2

4k2+3

．
又y1=k(x1+1)+

3

2

，y2=-k(x2+1)+

3

2

，
∴y₁-y₂=k（x₁+x₂+2）=

12k

4k2+3

．
∴直线MN的斜率KMN=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

（定值）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知F1（-1，0），F2（1，0）是椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，点G与F2关..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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