设有抛物线C：y=-x2+92x-4，通过原点O作C的切线y=mx，使切点P在第一象限．（1）求m的值，以及P的坐标；（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；（3）设C上有一点R，其横-数学试题及答案

1、试题题目：设有抛物线C：y=-x2+92x-4，通过原点O作C的切线y=mx，使切点P在第..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设有抛物线C：y=-x²+

9

2

x-4，通过原点O作C的切线y=mx，使切点P在第一象限．
（1）求m的值，以及P的坐标；
（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；
（3）设C上有一点R，其横坐标为t，为使DOPQ的面积小于DPQR的面积，试求t的取值范围．

试题来源：上海模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设点P的坐标为（x₁，y₁），则y₁=kx₁①，y₁=-x₁²+

9

2

x₁-4②，
①代入②，得：x₁²+（k-

9

2

）x₁+4=0
因为点P为切点，所以（k-

9

2

）²-16=0，得：k=

17

2

或k=

1

2

当k=

17

2

时x₁=-2，y₁=-17；当k=

1

2

时，x₁=2，y₁=1；
因为点P在第一象限，故所求的斜率k=

1

2

，P的坐标为（2，1），
（2）过P点作切线的垂线，其方程为：y=-2x+5③，代入抛物线方程，得：
x²-

13

2

x+9=0，设Q点的坐标为（x₂，y₂），则2x₂=9，所以x₂=

9

2

，y₂=-4，
所以Q点的坐标为（

9

2

，-4）
（3）设C上有一点R（t，-t²+

9

2

t-4），它到直线PQ的距离为：
d=

|2t+(-t2+

9

2

t-4)-5|

5

=

|t2-

13

2

t+9|

5

点O到直线PQ的距离PO=

5

，S_DOPQ=

1

2

?PQ?OP，S_DPQR=

1

2

?PQ?d，
因为DOPQ的面积小于DPQR的面积，SD_OPQ＜SD_PQR，
即：OP＜d，即：|t2-

13

2

t+9|＞5，
t2-

13

2

t+4＞0或t2-

13

2

t+14＜0
解之得：t＜

13-

105

4

或t＞

13+

105

4

所以t的取值范围为t＜

13-

105

4

或t＞

13+

105

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设有抛物线C：y=-x2+92x-4，通过原点O作C的切线y=mx，使切点P在第..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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