已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=43x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=43x的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=4

3

x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使

PE

?

QE

恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

试题来源：泰安一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点F(

3

，0)，∴c=

3

…（1分）
又∵椭圆的短轴的两个端点与F构成正三角形，∴b=1，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1…（3分）
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为：y=k（x-1）
代入椭圆方程，消去y，可得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

4k2+1

，x1x2=

4k2-4

4k2+1

…（5分）
∵

PE

=(m-x1，-y1)，

QE

= (m-x2，-y2)
∴

PE

?

QE

=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=m2-m

8k2

4k2+1

+

4k2-4

4k2+1

+k2(

4k2-4

4k2+1

-

8k2

4k2+1

+1)=

(4m2-8m+1)k2+(m2-4)

4k2+1

…（7分）
=

(4m2-8m+1)(k2+

1

4

)+(m2-4)-

1

4

(4m2-8m+1)

4k2+1

=

1

4

(4m2-8m+1)+

2m-

17

4

4k2+1

…（9分）
当2m-

17

4

=0，即m=

17

8

时，

PE

?

QE

为定值

33

64

…（10分）
当直线l的斜率不存在时，P(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)
由E(

17

8

，0)可得

PE

=(

9

8

，-

3

2

) ，

QE

=(

9

8

，

3

2

)，∴

PE

?

QE

=

81

64

-

3

4

=

33

64

综上所述，当E(

17

8

，0)时，

PE

?

QE

为定值

33

64

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=43x的..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：