已知直线l：y=ax+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于A、B两点．（1）求实数a的取值范围；（2）当实数a取何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：y=ax+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于A、B两点．（1）求实数a的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知直线l：y=ax+1与双曲线C：3x²-y²=1相交于A、B两点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当实数a取何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）联立方程组

3x2-y2=1

y=ax+1

，得(3-a2)x2-2ax-2=0． …（2分）
∵直线l与曲线C有两个交点A、B，
∴

3-a2≠0

△=4a2-4(3-a2)(-2)＞0

，即

a2≠3

a2＜6

． …（4分）
∴实数a的取值范围是-

6

＜a＜

6

且a≠±

3

． …（5分）
（2）设点A、B的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）． …（6分）
由（1）可知，

x1+x2=

2a

3-a2

x1x2=

-2

3-a2

．
∵以线段AB为直径的圆经过原点，
∴

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0． …（8分）
又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
∴x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
即(a2+1)?

-2

3-a2

+a?

2a

3-a2

+1=0，解得a=±1（都满足（1）求出的条件） …（11分）
∴a=±1时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点． …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：y=ax+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于A、B两点．（1）求实数a的..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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