椭圆x24+y22=1的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，以AB为直径的圆恰好过O，求直线l的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：椭圆x24+y22=1的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2与椭圆相交于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，直线l过F₂与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，以AB为直径的圆恰好过O，求直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设F₂（

2

，0），设直线l的方程为y=k（x-

2

），
由

x2

4

+

y2

2

=1

y=k(x-

2

)

得（1+2k²）x²-4

2

k²x+4（k²-1）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4

2

1+2k2

，x₁?x₂=

4(k2-1)

1+2k2

，
又y₁=k（x₁-

2

），y₂=k（x₂-

2

），∴y₁?y₂=k²x₁?x₂-

2

k²（x₁+x₂）+2k²．
又

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），
直线l过F₂与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，以AB为直径的圆恰好过O，

OA

⊥

OB

，

OA

?

OB

=0，
所以x₁?x₂+y₁?y₂=0，
即

4(k2+1)

1+2k2

+k²×

4(k2+1)

1+2k2

-

2

k²（

4

2

1+2k2

）+2k²=0，
解得k=±

2

，
当k不存在时，

OA

与

OB

不垂直．
∴所求直线方程为：y=±

2

（x-

2

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“椭圆x24+y22=1的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2与椭圆相交于..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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