已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx满足f（1）=0，设f（x）的导函数为f′（x），满足f′（0）f′（1）＞0．（1）求ca的取值范围；（2）设a为常数，且a＞0，已知函数f（x）的两个极值点为x1，x-数学试题及答案

1、试题题目：已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx满足f（1）=0，设f（x）的导..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax³+bx²+cx满足f（1）=0，设f（x）的导函数为f′（x），满足f′（0）f′（1）＞0．
（1）求

c

a

的取值范围；
（2）设a为常数，且a＞0，已知函数f（x）的两个极值点为x₁，x₂，A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），求证：直线AB的斜率k∈(-

2a

9

，-

a

6

]．

试题来源：镇江一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c），
∵f′（x）=3ax²+2bx+c，
∴f′（0）=c，f′（1）=3a+2b+c，
∴f′（0）f′（1）=c（3a+2b+c）=c（a-c）=ac-c²＞0，
∴a≠0，c≠0，
∴

c

a

-(

c

a

)2＞0，
所以0＜

c

a

＜1．
（2）令f′（x）=3ax²+2bx+c=0，则x1+x2=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

，
∴k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

(ax23+bx22+cx2)-(ax13+bx12+cx1)

x2-x1

=

(x2-x1)[a(x22+x2x1+x12)+b(x2+x1)+c]

x2-x1

=a（x22+x2x1+x12）+b（x₂+x₁）+c
=a[(x2+x1)2-x2x1]+b（x₂+x₁）+c
=a（

4b2

9a2

-

c

3a

）+b（-

2b

3a

）+c
=a[（

4b2

9a2

-

c

3a

）+

b

a

（-

2b

3a

）+

c

a

]
=

2a

9

（-

b2

a2

+

3c

a

），
令t=

c

a

，由b=-（a+c）得，

b

a

=-1-t，t∈（0，1），
则k=

2a

9

[-（1+t）²+3t]=

2a

9

（-t²+t-1），
∵a＞0，-t²+t-1∈（-1，-

3

4

]，∴k∈（-

2a

9

，-

a

6

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx满足f（1）=0，设f（x）的导..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：