已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列；（Ⅱ）令f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f‘（1）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．（Ⅰ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，
且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N*）．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数f'（1）．

试题来源：中山一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知S_n+1=2S_n+n+5，∴n≥2时，S_n=2S_n-1+n+4，
两式相减，得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，
即a_n+1=2a_n+1，从而a_n+1+1=2（a_n+1）．
当n=1时，S₂=2S₁+1+5，∴a₁+a₂=2a₁+6又a₁=5，∴a₂=11，
从而a₂+1=2（a₁+1）．故总有a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N*．
又∵a₁=5，，∴a_n+1≠0，从而

an+1+1

an+1

=2．
即{a_n+1}是以a₁+1=6为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=3×2ⁿ-1．
∵f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ∴f'（x）=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1．
从而f'（1）=a₁+2a₂+…+na_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）+…+n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+…+n）
=3[n×2n+1-(2+…+2n)]-

n(n+1)

2

=3[n×2n+1-2n+1+2]-

n(n+1)

2

=3(n-1)?2n+1-

n(n+1)

2

+6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．（Ⅰ..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

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